Cálculo Ejemplos

$y^{x y}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $y^{x y}$ como $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (y^{x y})$ ; para ello, mueve $x y$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y \ln (y)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Paso 3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y \ln (y)$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 5

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Combina $y$ y $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Paso 6.4

Multiplica $\ln (y)$ por $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Paso 7.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$