Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Paso 9.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3

Simplifica.

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Paso 9.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.6

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.7

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.3.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.9.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.10

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3.12

Para escribir $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 9.1.3.13

Combina $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Paso 9.1.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Paso 9.1.3.15

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

Paso 9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

Paso 9.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Forma decimal:

$- 0.63629436 \dots$

Paso 11