Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Paso 1.3

Resta $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 4 - 2$

Paso 1.5

Resta $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $2$ y en $- 2$ .

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.4

Resta $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Paso 4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.2.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5