Cálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{1 + x^{2}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 10

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 12

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 12.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 13

Simplifica $2 {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 14

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 16

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (2 x)$

Paso 18

Simplifica los términos.

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Paso 18.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$ .

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})} x$

Paso 18.2

Combina $\frac{2}{2 (1 + x^{2})}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Paso 18.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Paso 18.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1 + x^{2}}$

Paso 18.4

Reordena los términos.

$\frac{x}{x^{2} + 1}$