Cálculo Ejemplos

$3 x y + 3 y + 5 = - 3 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x y + 3 y + 5) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y + 3 y + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 (x y' + y) + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x y') + 3 y + 3 y' + 0$

Paso 2.5.2

Suma $3 x y' + 3 y + 3 y'$ y $0$ .

$3 x y' + 3 y + 3 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x y' + 3 y + 3 y' = - 3$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x y' + 3 y' = - 3 - 3 y$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $3 x y' + 3 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y' = - 3 - 3 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y'$ .

$3 y' x + 3 y' \cdot 1 = - 3 - 3 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' x + 3 y' \cdot 1$ .

$3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ por $3 (x + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ por $3 (x + 1)$ .

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1 - y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (y)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + y)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 + y}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y}{x + 1}$