Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{3} [2 y - (y^{2} - 3)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{3} 2 y - (y^{2} - 3) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{3} 2 y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- 1}^{3} y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Paso 6

Multiplica $- (y^{2} - 3)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} - - 3 d y$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} + 3 d y$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - \int_{- 1}^{3} y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $3$ y en $- 1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $3$ y en $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Paso 13.3

Evalúa $3 y$ en $3$ y en $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{9 - 1}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.4

Resta $1$ de $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.5

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 13.4.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{4}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.5.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$2 \cdot 4 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$8 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.8

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 13.4.8.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$8 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.8.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$8 - (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$8 - (9 - \frac{- 1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 - (9 - - \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 - (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.12

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$8 - (9 + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.13

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.14

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 - \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.16

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.16.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$8 - \frac{27 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.16.2

Suma $27$ y $1$ .

$8 - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.17

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.18

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot 3 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.20

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.20.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{24 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.20.2

Resta $28$ de $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.22

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Paso 13.4.23

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Paso 13.4.24

Suma $9$ y $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Paso 13.4.25

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 13.4.26

Combina $12$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.28

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.28.1

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Paso 13.4.28.2

Suma $- 4$ y $36$ .

$\frac{32}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{32}{3}$

Forma decimal:

$10.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$10 \frac{2}{3}$

Paso 15