Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} - 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- lim_{x \to - 3} 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (- 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.5.2.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.5.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.2.5.2.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.6

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.3.1.7

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot - 3 + 6} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{- 6 + 6} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.3.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (- 2 - x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = - 2 - x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{- 2 - x}$ y $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{4}{- 2 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot - 1}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{- 4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14

Simplifica.

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Paso 3.14.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - (x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2 + x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 3} \frac{- - \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{1 \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.14.6

Multiplica $\frac{4}{2 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Paso 3.15

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{2 x + 6} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}]$ .

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Paso 3.16.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{2 x + 6}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x + 6$ .

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Paso 3.16.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.6

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.9

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x + 6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (2 e^{2 x + 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.17

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + 0}$

Paso 3.18

Suma $6 e^{2 x + 6}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{2 + x} \cdot \frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{4}{2 + x}$ por $\frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $(2 + x) (6 e^{2 x + 6})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 2}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 + x) (3 e^{2 x + 6})}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} 2 + x \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 3} 2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Paso 12

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}}$

Paso 13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Paso 14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Paso 15

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Paso 16

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 16.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Paso 16.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Paso 17

Simplifica la respuesta.

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Paso 17.1

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1}{3 ((2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6})}$

Paso 17.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Paso 17.3

Simplifica el denominador.

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Paso 17.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) e^{- 6 + 6}}$

Paso 17.3.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot - 1 e^{- 6 + 6}}$

Paso 17.3.3

Combina exponentes.

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Paso 17.3.3.1

Factoriza el negativo.

$\frac{2}{- (3 e^{- 6 + 6})}$

Paso 17.3.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{- 3 e^{- 6 + 6}}$

Paso 17.3.4

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{2}{- 3 e^{0}}$

Paso 17.3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 1}$

Paso 17.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{2}{- 3}$

Paso 17.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3}$