Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{3} + x^{2} - 21 x + 24}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Paso 1.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Paso 1.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Paso 1.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Paso 1.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

Paso 1.1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

Paso 1.1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$

Paso 1.1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$
							-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$24$

Paso 1.1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} - 6 x + 24$ .

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

Paso 1.1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

$x$

$0$

Paso 1.1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Paso 1.2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x}{(x - 2) (x + 4)}$

Paso 1.2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Paso 1.2.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.2.7.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{A (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7.1.2

Divide $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7.4

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.2.7.4.2

Divide $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$x = A x + 4 A + (B) (x - 2)$

Paso 1.2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot - 2$

Paso 1.2.7.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$x = A x + 4 A + B x - 2 B$

Paso 1.2.8

Mueve $4 A$ .

$x = A x + B x + 4 A - 2 B$

Paso 1.3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 4 A - 2 B$

Paso 1.3.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

Paso 1.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.4.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.4.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 4 A - 2 B$

Paso 1.4.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

Paso 1.4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 4 A - 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = 4 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica $4 (1 - B) - 2 B$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 = 4 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.2.2.1.2

Resta $2 B$ de $- 4 B$ .

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3

Resuelve $B$ en $0 = 4 - 6 B$ .

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Paso 1.4.3.1

Reescribe la ecuación como $4 - 6 B = 0$ .

$4 - 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 B = - 4$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3

Divide cada término en $- 6 B = - 4$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 1.4.3.3.1

Divide cada término en $- 6 B = - 4$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 1.4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.3.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $- 6$ .

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Paso 1.4.3.3.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.3.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{2}{3})$ .

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Paso 1.4.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.4.2.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Paso 1.5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $2 x - 3 + \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$2 x - 3 + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 x - 3 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Paso 1.6.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Paso 1.6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Paso 1.6.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$\int 2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 8

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 4} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = x + 4$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 11.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| u_{1} |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{3} \ln (| x - 2 |) + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$