Cálculo Ejemplos

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = 1 + a t$ y $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ .

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 2}$ y $g (t) = c t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $c t$ .

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $c$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $c t$ con respecto a $t$ es $c \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 3.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + a t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

Paso 3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

Paso 3.7

Como $a$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $a t$ con respecto a $t$ es $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica ${(c t)}^{- 2}$ por $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.3

Resta $3$ de $1$ .

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.5

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.7

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.8

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.10

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Paso 4.4.11

Suma $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ y $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

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Paso 4.4.11.1

Reordena $a$ y $- 2$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.4.11.2

Suma $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ y $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{c^{2}}$ .

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5.5

Multiplica $\frac{1}{t^{3}}$ por $\frac{2}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Paso 4.5.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

Paso 4.5.7

Combina $\frac{1}{c^{2}}$ y $a$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

Paso 4.5.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

Paso 4.5.9

Multiplica $\frac{1}{t^{2}}$ por $\frac{a}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$