Cálculo Ejemplos

$\int 4 x (2 x - 3) (3 x + 1) d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int (x (2 x - 3)) (3 x + 1) d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x + 1$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

$3$

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) u \frac{1}{3} d u$

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) u \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $\frac{1}{3}$ y $u$ .

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3) - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3}))) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.9

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3}))) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.11

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.12

Reordena $\frac{u}{3}$ y $2$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.13

Mueve los paréntesis.

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 \cdot - 1) \frac{1}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.14

Mueve $\frac{u}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.15

Reordena $\frac{u}{3}$ y $- 3$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.16

Mueve $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.17

Mueve los paréntesis.

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \cdot - 1) \frac{1}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.18

Mueve $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Paso 4.19

Mueve $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.20

Combina $2$ y $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.21

Multiplica $\frac{2 u}{3}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u \cdot u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.22

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{1} u)}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.23

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{1} u^{1})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int \frac{2 u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.25

Suma $1$ y $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{2}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.26

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{2}}{9} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.27

Multiplica $\frac{2 u^{2}}{9}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{2} u}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.28

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{2} u^{1})}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.29

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int \frac{2 u^{2 + 1}}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.30

Suma $2$ y $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.31

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.32

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} - 2 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.33

Combina $- 2$ y $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.34

Multiplica $\frac{- 2 u}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.35

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.36

Multiplica $\frac{- 2 u}{9}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.37

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.38

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.39

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.40

Suma $1$ y $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.41

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.42

Combina $- 3$ y $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.43

Multiplica $\frac{- 3 u}{3}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u \cdot u}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.44

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 (u^{1} u)}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.45

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 (u^{1} u^{1})}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.46

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.47

Suma $1$ y $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.48

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{9} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.49

Para escribir $\frac{- 3 u^{2}}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{9} \cdot \frac{3}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.50

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.50.1

Multiplica $\frac{- 3 u^{2}}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.50.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.51

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.52

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.53

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 2 (\frac{1}{3}) \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.54

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.55

Multiplica $\frac{- 2}{3}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.56

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.57

Multiplica $\frac{- 2 u}{9}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.58

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.59

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.60

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.61

Suma $1$ y $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.62

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.63

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.64

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + 2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.65

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.66

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.67

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.68

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.69

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Paso 4.70

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + 3 (\frac{1}{3}) \frac{u}{3} d u$

Paso 4.71

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3}{3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Paso 4.72

Multiplica $\frac{3}{3}$ por $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{3 \cdot 3} d u$

Paso 4.73

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{9} d u$

Paso 4.74

Para escribir $\frac{3 u}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{9} \cdot \frac{3}{3} d u$

Paso 4.75

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.75.1

Multiplica $\frac{3 u}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{9 \cdot 3} d u$

Paso 4.75.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{27} d u$

Paso 4.76

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Paso 4.77

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2} + 2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Paso 4.78

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 - 2 u^{2} + 2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Paso 4.79

Reordena $2 u$ y $3 u \cdot 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 - 2 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Paso 4.80

Mueve $- 3 u^{2} \cdot 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Paso 4.81

Resta $2 u^{2}$ de $- 2 u^{2}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 9 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Paso 5.2

Resta $9 u^{2}$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 9 u + 2 u}{27} d u$

Paso 5.4

Suma $9 u$ y $2 u$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u}{27} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{27}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{27}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{27} \int 2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u d u)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{27}$ y $4$ .

$\frac{4}{27} \int 2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{4}{27} (\int 2 u^{3} d u + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{4}{27} (2 \int u^{3} d u + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Paso 11

Dado que $- 13$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 13$ fuera de la integral.

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 \int u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 11 u d u)$

Paso 13

Dado que $11$ es constante con respecto a $u$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 \int u d u)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{4}{27} (\frac{u^{4}}{2} - \frac{13 u^{3}}{3} + \frac{11 u^{2}}{2}) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 1$ .

$\frac{4}{27} (\frac{{(3 x + 1)}^{4}}{2} - \frac{13 {(3 x + 1)}^{3}}{3} + \frac{11 {(3 x + 1)}^{2}}{2}) + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{4}{27} (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{4} - \frac{13}{3} {(3 x + 1)}^{3} + \frac{11}{2} {(3 x + 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$