Cálculo Ejemplos

$y = (x - 1) (x + 2)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 2))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 2$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + 0)$

Paso 3.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x - 1 + (x + 2) \cdot 1$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$x - 1 + x + 2$

Paso 3.2.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x - 1 + 2$

Paso 3.2.8.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$2 x + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x + 1$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 1$