Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \ln (1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.8.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.8.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.8.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.2.8.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.7.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.3.7.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.3.7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Paso 1.3.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (x + 1) + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x + 1)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.7

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.3.8

Combina $2$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Combina los términos.

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Paso 3.5.1.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 + 2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \sin (x) - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Paso 3.7.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Paso 3.7.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 (3 x^{2})}$

Paso 3.8.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 6 x^{2}}$

Paso 3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}$ por $\frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2 (x + 1) + 2$ y $- 6 x^{2} + 4 \cos (x)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2 (1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Paso 5.2.2

Factoriza $2$ de $2 (x + 1) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Paso 5.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + 1}{(x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Paso 13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Paso 14

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Paso 15

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Paso 16

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Paso 17

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 18

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 18.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 18.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 18.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 18.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Paso 19

Simplifica la respuesta.

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Paso 19.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Paso 19.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Paso 19.2

Simplifica el denominador.

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Paso 19.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2}{1 (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Paso 19.2.2

Multiplica $- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)$ por $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)}$

Paso 19.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Paso 19.2.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cos (0)}$

Paso 19.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cdot 1}$

Paso 19.2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{0 + 2}$

Paso 19.2.7

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 19.3

Divide $2$ por $2$ .

$1$