Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Paso 1.5

Combina $\frac{x^{4}}{2}$ y $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Paso 1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Paso 1.7.2

Multiplica $- \frac{x^{4}}{2} x$ .

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Paso 1.7.2.1

Combina $x$ y $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 1.7.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

Paso 1.7.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

Paso 1.7.2.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{5} x^{5}$ en $3$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{1}{6} x^{6}$ en $3$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $243$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.6

Suma $\frac{243}{5}$ y $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.7

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{243}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.8

Multiplica $3$ por $243$ .

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.9

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.10

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.11

Combina $\frac{1}{6}$ y $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.12

Cancela el factor común de $729$ y $6$ .

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Paso 8.3.12.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Paso 8.3.13

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

Paso 8.3.14

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

Paso 8.3.15

Multiplica $0$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

Paso 8.3.16

Suma $\frac{243}{2}$ y $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

Paso 8.3.17

Multiplica $\frac{243}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.18

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

Paso 8.3.19

Para escribir $\frac{729}{10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

Paso 8.3.20

Para escribir $- \frac{243}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.21

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.21.1

Multiplica $\frac{729}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.21.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.21.3

Multiplica $\frac{243}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Paso 8.3.21.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

Paso 8.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

Paso 8.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.23.1

Multiplica $729$ por $2$ .

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

Paso 8.3.23.2

Multiplica $- 243$ por $5$ .

$\frac{1458 - 1215}{20}$

Paso 8.3.23.3

Resta $1215$ de $1458$ .

$\frac{243}{20}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{243}{20}$

Forma decimal:

$12.15$

Forma de número mixto:

$12 \frac{3}{20}$

Paso 10