Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + 2 x^{2}$ . Entonces $d u = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + 2 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + 4 x$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $4 x$ .

$4 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Paso 1.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Paso 1.5.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Paso 6.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Paso 6.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Paso 6.2.5

Suma $- 1$ y $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Paso 6.2.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Paso 6.2.7

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{8}{36}$

Paso 6.2.8

Cancela el factor común de $8$ y $36$ .

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Paso 6.2.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Paso 6.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.8.2.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Paso 6.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Paso 6.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{2}$

Paso 8