Cálculo Ejemplos

$y = {(- x - 1)}^{2} + 3$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(- x - 1)}^{2}$ como $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$f (x) = (- x - 1) (- x - 1) + 3$

Paso 1.2

Expande $(- x - 1) (- x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1) + 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1) + 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (x) = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 1.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x) = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1 + 3$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x + 1 + 3$

Paso 1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + 3$

Paso 2

Suma $1$ y $3$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{2}{2 (1)}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = - 1 \cdot 1$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = - 1$

Paso 5

Evalúa $f (- 1)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 4$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1) + 4$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 4$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 4$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$f (- 1) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- 1, 3)$

Paso 7