Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Paso 1

Factoriza $2$ de $4 x + 2$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + x + 5$ . Entonces $d u = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Paso 3.1.6

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$2 x + 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$2 \ln (| u |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$