Cálculo Ejemplos

$\ln (x y) + 5 x = 30$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x y) + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

Paso 2.4.2.2

Combina $\frac{x}{x y}$ y $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Paso 2.4.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Paso 2.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Paso 2.4.2.4

Combina $\frac{1}{x y}$ y $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Paso 2.4.2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Paso 2.4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

Paso 3

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

Paso 5.1.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $(- \frac{1}{x} - 5) y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

Paso 5.3.2.1.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$