Cálculo Ejemplos

$2^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $2^{\frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

Paso 3.2.2

Combina $\ln (2)$ y $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$