Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3} = 28$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (28)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$12 x^{2} - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$12 x^{2} - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{2} - 3 (2 x y y') - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x y y' - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $12 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 x y y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y y'$ de $3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y$ .

$3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ por $3 y (- 2 x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ por $3 y (- 2 x + y)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $- 2 x + y$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y (- 2 x + y)$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{y}{- 2 x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (- 2 x + y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{- 2 x + y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + y) y}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(- 2 x + y) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y^{1}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1 + 1}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.5

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$y' = \frac{- {(2 x)}^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.6

Reordena $- {(2 x)}^{2}$ y $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - {(2 x)}^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - (2 x))}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.5.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - 2 x)}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $y - 2 x$ y $- 2 x + y$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Reordena los términos.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Paso 5.3.3.6.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y + 2 x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2 x}{y}$