Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Entonces $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$