Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} - \frac{1}{x + 3}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{6}{9 - x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(9 - x^{2}) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{6}{9 - x^{2}}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(x + 3) (9 - x^{2})}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x + 3) (9 - x^{2})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite de $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{6 (- 3 + 3) - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{6 \cdot 0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0 - (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2.4

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 2.1.3.3

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 2.1.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (- 3 + 3)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.8.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{(9 - 1 \cdot 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Paso 2.1.3.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{(9 - 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Paso 2.1.3.8.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 3 + 3)}$

Paso 2.1.3.8.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 (x + 3)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (9 - x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.7

Resta $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.4.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 9 - x^{2}$ y $g (x) = x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.11

Multiplica $9 - x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Paso 2.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Paso 2.3.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Paso 2.3.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 2.3.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Paso 2.3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- (2 x))}$

Paso 2.3.17

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- 2 x)}$

Paso 2.3.18

Simplifica.

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Paso 2.3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + x (- 2 x) + 3 (- 2 x)}$

Paso 2.3.18.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.18.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x) + 3 (- 2 x)}$

Paso 2.3.18.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 2 x)}$

Paso 2.3.18.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{1 + 1} + 3 (- 2 x)}$

Paso 2.3.18.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} + 3 (- 2 x)}$

Paso 2.3.18.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} - 6 x}$

Paso 2.3.18.2.6

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - 3 x^{2} - 6 x}$

Paso 2.3.18.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2.1.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to - 3} 3 x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Paso 3.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Paso 3.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Paso 3.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.7.1.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.3.7.1.1.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ .

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Paso 3.1.3.7.1.1.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Paso 3.1.3.7.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{{(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Paso 3.1.3.7.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Paso 3.1.3.7.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{- 27 - 6 \cdot - 3 + 9}$

Paso 3.1.3.7.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$\frac{0}{- 27 + 18 + 9}$

Paso 3.1.3.7.2

Suma $- 27$ y $18$ .

$\frac{0}{- 9 + 9}$

Paso 3.1.3.7.3

Suma $- 9$ y $9$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.5

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.7.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.7.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 3.3.8.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.8.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]}$

Paso 3.3.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + 0}$

Paso 3.3.10

Suma $- 6 x - 6$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ y $- 6 x - 6$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{- 6 x - 6}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x) - 6}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x) + 2 \cdot - 3}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x - 3)}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x - 3)}$

Paso 3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 3} \frac{1}{- 3 x - 3}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - 3} 3 x - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 4.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 3}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 \cdot - 3 - 1 \cdot 3}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{1}{9 - 1 \cdot 3}$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{9 - 3}$

Paso 6.3

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$