Cálculo Ejemplos

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4^{2}$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Paso 1.2

Divide cada término por $16$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Paso 1.3

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Paso 5.3.3

Suma $16$ y $16$ .

$\sqrt{32}$

Paso 5.3.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$4 \sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 6, - 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(2, - 2), (- 6, - 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Paso 8.3.1.3

Suma $16$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 9.3.4.2.4

Divide $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Paso 11.2

Simplifica $1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $x - (- 2)$ por $1$ .

$y = x - (- 2) - 2$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = x + 2 - 2$

Paso 11.2.2

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 11.2.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$y = x + 0$

Paso 11.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Paso 12.2

Simplifica $- 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) - 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 - 2$

Paso 12.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 2 - 2$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - x - 2 - 2$

Paso 12.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$y = - x - 4$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x - 4$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 2, - 2)$

Vértices: $(2, - 2), (- 6, - 2)$

Focos: $(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $2 \sqrt{2}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x - 4$

Paso 15