Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(2^{- 1})}^{4 x}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $2^{2 - 4 x}$ por $1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$