Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

Paso 1

Divide $x^{2} + 2$ por $x - 2$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 2 x$ .

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 4$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 6

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 6.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Paso 6.3

Resta $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Paso 6.5

Resta $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ y $2 x]_{4}^{6}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ en $6$ y en $4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $4$ y en $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.3.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.5

Suma $18$ y $12$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.8

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.3.8.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.8.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.10

Suma $8$ y $8$ .

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.11

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 9.3.12

Resta $16$ de $30$ .

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

Paso 11.3

Divide $4$ por $2$ .

$14 + 6 \ln (2)$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$14 + 6 \ln (2)$

Forma decimal:

$18.15888308 \dots$

Paso 13