Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.8.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.1.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.1.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.14

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.16

Combina $\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.17

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.18

Mueve ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.19

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4.20

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.4.1

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4.2

Reescribe ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Para escribir $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Paso 1.5.2

Para escribir $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5.3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Paso 1.5.3.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 x - 1} (2 \sqrt{x})}}{1}$

Paso 1.5.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Paso 1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Paso 1.6

Divide $\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{\sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Paso 2.10

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} (2 x - 1) x}}$

Paso 2.11

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 2.12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 2.13

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 2.14

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \cdot 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.1.7

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2 \cdot 1 - 1 \cdot 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1 \cdot 1}}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1}}$

Paso 4.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{1}}$

Paso 4.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$