Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x + 5}{7 x^{2} + 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{7 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{7 + 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ y $7 + 0$ .

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Paso 8.1.1

Reordena los términos.

$\frac{0 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{7 + 0}$

Paso 8.1.2

Factoriza $7$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5) + 0 \cdot 5}{7 + 0}$

Paso 8.1.3

Factoriza $7$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5) + 7 (0 \cdot 5)}{7 + 0}$

Paso 8.1.4

Factoriza $7$ de $7 (0 \cdot 5) + 7 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 + 0}$

Paso 8.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.5.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 (1) + 0}$

Paso 8.1.5.2

Factoriza $7$ de $0$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot 1 + 7 \cdot 0}$

Paso 8.1.5.3

Factoriza $7$ de $7 \cdot 1 + 7 \cdot 0$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{0 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Paso 8.2.2

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Paso 8.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 8.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 8.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$