Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$