Cálculo Ejemplos

$y = 3^{\ln (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

Paso 3.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $3^{\ln (x)}$ .

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ y $\ln (3)$ .

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$