Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.8.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.8.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Paso 1.3.8.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.8.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \ln (x + 1) - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

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Paso 3.7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (x + 1)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.7

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.7.8

Combina $3$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Paso 3.8.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Combina los términos.

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Paso 3.9.1.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Paso 3.9.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 3.9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3 - 3 (x + 1)$ .

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Paso 3.9.2.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.4

Resta $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.5

Suma $- x$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.6

Combina exponentes.

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Paso 3.9.2.6.1

Factoriza el negativo.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Paso 3.9.2.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Paso 3.9.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Paso 5

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Paso 6

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la izquierda, los valores de la función aumentan sin cota.

$\infty$

Paso 7

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función disminuyen sin cota.

$- \infty$

Paso 9

Como los límites izquierdo y derecho no son iguales, el límite no existe.

$No existe$