Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$ como $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})$ ; para ello, mueve $2^{x}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x^{2} + 1}$ y $2^{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5.5

Combina fracciones.

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Paso 5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 5.5.2

Combina $2$ y $\frac{2^{x}}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 6

Multiplica $2$ por $2^{x}$ .

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Paso 6.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1} \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 7

Combina $\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)))$

Paso 9

Para escribir $\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 11

Combina $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}$ y $\frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \cdot 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.1.3

Multiplica $\ln (2)$ por $1$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.3

Simplifica.

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Paso 12.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.4

Reordena los factores en $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})$ .

$\frac{x e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{1 + x} + x^{2} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 12.2

Reordena los términos.

$\frac{2^{1 + x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$