Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{- 10 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{- 10}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(1 - 4 x)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Reescribe ${(1 - 4 x)}^{2}$ como $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Expande $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 x$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 8 x + 16 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.3.7.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.8.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Combina los términos.

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Paso 2.3.10.1.1

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10.1.2

Suma $- 8 + 32 x$ y $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{1}$

Paso 2.4

Divide $32 x - 8$ por $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} 32 x - 8$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 10} (lim_{x \to 0} 32 x - lim_{x \to 0} 8)$

Paso 3.2

Mueve el término $32$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $32$ por $0$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 1 \cdot 8)$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 8)$

Paso 5.3

Resta $8$ de $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot - 8$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10}$ al numerador.

$\frac{- 1}{10} \cdot - 8$

Paso 5.4.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 8$

Paso 5.4.3

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Paso 5.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Paso 5.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{5} \cdot - 4$

Paso 5.5

Combina $\frac{- 1}{5}$ y $- 4$ .

$\frac{- - 4}{5}$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{4}{5}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4}{5}$

Forma decimal:

$0.8$