Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x y^{2} + 2 x - \frac{1}{3} x y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x y^{2}]$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.2

Combina $\frac{2 x}{3}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x y^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3

Como $\frac{2 y^{2}}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x y^{2}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{2 y^{2}}{3}$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x y^{2}]$ .

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2} x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4.3

Como $- \frac{y^{2}}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y^{2} x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2} y]$ .

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Paso 5.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.2

Combina $\frac{2 x^{2}}{3}$ y $y$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2} y}{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.3

Como $\frac{2 y}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2} y}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 y}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.5

Combina $2$ y $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{2 (2 y)}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y}{3} x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.7

Combina $\frac{4 y}{3}$ y $x$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 6.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5 \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2}}{3} + 2 - \frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 5$

Paso 7

Combina los términos.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y^{2} - y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

Paso 7.2

Resta $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{3} + 2 + \frac{4 y x}{3} - 5$

Paso 7.3

Resta $5$ de $2$ .

$\frac{y^{2}}{3} + \frac{4 y x}{3} - 3$