Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 2$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $2$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $3$ y en $2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Mueve $3^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Multiplica $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Combina $2^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ .

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Paso 6.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Paso 6.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Paso 6.2.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Paso 6.2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Paso 6.2.5.4

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1

Mueve $3^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4.2

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.2.1

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7.4.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Forma decimal:

$0.52616117 \dots$

Paso 9