Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 + \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 + \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Paso 1.3.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $4$ y en $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Paso 5.2

$\frac{7}{2}$ es aproximadamente $3.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Paso 5.4

Multiplica $4 (\frac{2}{7})$ .

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Paso 5.4.1

Combina $4$ y $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Paso 5.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{8}{7})$

Forma decimal:

$0.13353139 \dots$