Cálculo Ejemplos

$\int_{\sqrt{x}}^{\frac{π}{6}} θ \tan (θ) d θ$

Paso 1

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ]$

Paso 2

Calcula la derivada de $- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $\sqrt{x}$ .

$- \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \tan (\sqrt{x})$

Paso 11

Combina $\tan (\sqrt{x})$ y $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\tan (\sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$