Cálculo Ejemplos

$e^{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{\sin (x)}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Paso 6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{\sin (x)}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Paso 9

Reordena los términos.

$- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$