Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 8}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{6}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 6.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{3 + 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.1.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.1.3

Suma $3 + 0$ y $0$ .

$\frac{3 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.1.4

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{3}{4 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$