Cálculo Ejemplos

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Paso 1

Escribe $2 \sin^{2} (x) + 1$ como una función.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 8.3

Multiplica $\int 1 - \cos (2 x) d x$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Paso 12

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Paso 13

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Paso 15

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Suma $x$ y $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Paso 17.2

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Paso 18

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$