Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{- x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Reordena los términos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 1.7.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.8

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.8.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.2.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.8.3

Suma $1$ y $3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.9

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.12

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.3.13

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.3.4

Resta $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.4.1

Mueve $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.3.4.2

Resta $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Paso 4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Reordena los términos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 4.1.7.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Factoriza $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $2 x e^{- x^{2}}$ de $2 x e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $2 x e^{- x^{2}}$ de $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.3

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Paso 5.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $e^{- x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 5.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.5.2.3

No hay soluciones para $e^{- x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 5.6

Establece $1 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $1 + x$ igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 5.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.7

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 5.7.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 5.7.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 5.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.8

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.11

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.12

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 9.1.13

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

Paso 9.1.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Paso 9.1.15

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Paso 9.1.16

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0}$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Paso 11.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Paso 11.2.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 13.1.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.6

Combina $4$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.8

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.9

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.9.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 13.1.9.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.9.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.12

Combina $- 10$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.14

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.14.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 13.1.14.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 13.1.14.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 13.1.14.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

Paso 13.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Paso 13.1.16

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Paso 13.1.17

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Paso 13.2

Combina fracciones.

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Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Paso 13.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.2.1

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Paso 13.2.2.2

Suma $- 6$ y $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Paso 13.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{e}$

Paso 14

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 15.2.2

Multiplica $e^{- {(- 1)}^{2}}$ por $1$ .

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

Paso 15.2.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.2.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 15.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 15.2.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

Paso 15.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1}$

Paso 15.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.6

Combina $4$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.8

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.12

Combina $- 10$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 17.1.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 17.1.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Paso 17.1.16

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Paso 17.1.17

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Paso 17.2

Combina fracciones.

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Paso 17.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Paso 17.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Paso 17.2.2.2

Suma $- 6$ y $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Paso 17.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{e}$

Paso 18

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 19.2.2

Multiplica $e^{- {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

Paso 19.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 19.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Paso 19.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Paso 19.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(- 1, \frac{1}{e})$ es un máximo local

$(1, \frac{1}{e})$ es un máximo local

Paso 21