Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ y $6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $2$ y en $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ en $2$ y en $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $- 27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.5

Combina $27$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.6

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.6.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.7

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.8

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.10.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.10.2

Suma $8$ y $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{35}{3}$ .

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.15

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.15.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.15.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.16

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.17

Suma $2$ y $12$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.18

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.19

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

Paso 7.2.3.20

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

Paso 7.2.3.21

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 7.2.3.22

Combina $- 18$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

Paso 7.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.24.1

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

Paso 7.2.3.24.2

Resta $36$ de $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

Paso 7.2.3.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

Paso 7.2.3.26

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

Paso 7.2.3.27

Multiplica $\frac{27}{2}$ por $1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

Paso 7.2.3.28

Para escribir $14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Paso 7.2.3.29

Combina $14$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Paso 7.2.3.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

Paso 7.2.3.31

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.31.1

Multiplica $14$ por $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

Paso 7.2.3.31.2

Suma $28$ y $27$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

Paso 7.2.3.32

Para escribir $\frac{55}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.33

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.33.1

Multiplica $\frac{55}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.33.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

Paso 7.2.3.34

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

Paso 7.2.3.35

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.35.1

Multiplica $55$ por $3$ .

$\frac{35 + 165}{6}$

Paso 7.2.3.35.2

Suma $35$ y $165$ .

$\frac{200}{6}$

Paso 7.2.3.36

Cancela el factor común de $200$ y $6$ .

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Paso 7.2.3.36.1

Factoriza $2$ de $200$ .

$\frac{2 (100)}{6}$

Paso 7.2.3.36.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.36.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.36.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.36.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{100}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{100}{3}$

Forma decimal:

$33.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$33 \frac{1}{3}$

Paso 9