Cálculo Ejemplos

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Paso 1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Paso 1.3

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

\frac{- \infty}{- \infty}

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{- \infty}{- \infty}

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 2

Como

\frac{- \infty}{- \infty}

$\frac{- \infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de

2 x - 3

$2 x - 3$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.4

Evalúa

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como

2

$2$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

2 x

$2 x$ con respecto a

x

$x$ es

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.4.3

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.5

Como

- 3

$- 3$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 3

$- 3$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}$

Paso 3.6

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

Paso 4

Evalúa el límite de

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ que es constante cuando

x

$x$ se acerca a

- \infty

$- \infty$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$