Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $8 x$ como $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Paso 1.1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Paso 1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.5

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.8

Como $2^{\frac{3}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.13

Simplifica el numerador.

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Paso 1.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.16

Combina $2^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.17

Simplifica.

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Paso 1.17.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.17.2

Mueve $2^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18

Multiplica $2^{\frac{3}{2}}$ por $2^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.18.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.18.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.10

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.11.2

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.12.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12.4

Resta $1$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$