Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \cos (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 10.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 10.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 10.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 10.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 14.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Paso 14.2.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Paso 14.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Paso 14.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Paso 14.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Paso 14.3.4

Suma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 14.3.5

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Paso 14.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 14.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 14.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 14.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 14.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ al numerador.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Paso 14.4.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Paso 14.4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 14.4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.18117214 \dots$