Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $1 + \ln (3)$ y en $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Paso 3.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Forma decimal:

$4.59918613 \dots$