Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de ${(2 + x)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Suma $2$ y $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Paso 2.3.3

Reescribe ${(2 + x)}^{2}$ como $(2 + x) (2 + x)$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

Paso 2.3.4

Expande $(2 + x) (2 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

Paso 2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

Paso 2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Paso 2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Paso 2.3.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

Paso 2.3.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

Paso 2.3.5.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Paso 2.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Paso 2.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

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Paso 2.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (4 + 4 x + x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

Paso 2.3.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 4 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Paso 2.3.8.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Paso 2.3.8.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Paso 2.3.8.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Paso 2.3.8.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

Paso 2.3.8.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

Paso 2.3.8.8

Suma $0$ y $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

Paso 2.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

Paso 2.3.9.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

Paso 2.3.9.2.3

Resta $- (- 4 - 2 x)$ de $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

Paso 2.3.9.3

Reordena los términos.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

Paso 3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

Paso 5.1.3

Resta $4$ de $0$ .

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

Paso 5.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{- 2}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$