Cálculo Ejemplos

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Paso 1

Escribe $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ como una función.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 8.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 9

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Paso 10

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

Paso 11

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 13.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 13.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 13.2.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 13.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Paso 14

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

Paso 15

Aplica la regla de la constante.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

Paso 16

Simplifica.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$