Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{3} - x - 3$ como una función.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $9 x^{2} - 1$ y $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} = 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $9 x^{2} = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $9 x^{2} = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Paso 3.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 3.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 3.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $- 3$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{3})$ en la primera derivada $9 x^{2} - 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $80$ .

$80$

Paso 6

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ en la primera derivada $9 x^{2} - 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ en la primera derivada $9 x^{2} - 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de $81$ .

$f' (3) = 80$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $80$ .

$80$

Paso 8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - \frac{1}{3}$ , hay un punto de inflexión en $x = - \frac{1}{3}$ .

Paso 9

Obtén la coordenada y de $- \frac{1}{3}$ para obtener el punto de inflexión.

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Paso 9.1

Obtén $f (- \frac{1}{3})$ para obtener la coordenada y de $- \frac{1}{3}$ .

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Paso 9.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2

Simplifica $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

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Paso 9.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.2.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{27}$ al numerador.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.5.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.5.3

Cancela el factor común.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.7

Multiplica $- (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 9.1.2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 9.1.2.2.7.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Paso 9.1.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 9.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Paso 9.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Paso 9.1.2.3.3

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Paso 9.1.2.3.4

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 9.1.2.3.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Paso 9.1.2.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Paso 9.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Paso 9.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Paso 9.1.2.5.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Paso 9.1.2.5.3

Resta $27$ de $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Paso 9.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{9}$

Paso 9.2

Escribe las coordenadas $x$ y $y$ en forma de punto.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Paso 10

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{1}{3}$ , hay un punto de inflexión en $x = \frac{1}{3}$ .

Paso 11

Obtén la coordenada y de $\frac{1}{3}$ para obtener el punto de inflexión.

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Paso 11.1

Obtén $f (\frac{1}{3})$ para obtener la coordenada y de $\frac{1}{3}$ .

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Paso 11.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2

Simplifica $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

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Paso 11.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.1.2.2.4.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2.4.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Paso 11.1.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 11.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Paso 11.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Paso 11.1.2.3.3

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Paso 11.1.2.3.4

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 11.1.2.3.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Paso 11.1.2.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Paso 11.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Paso 11.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Paso 11.1.2.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Paso 11.1.2.5.3

Resta $27$ de $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Paso 11.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{29}{9}$

Paso 11.2

Escribe las coordenadas $x$ y $y$ en forma de punto.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Paso 12

Estos son los puntos de inflexión.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Paso 13