Cálculo Ejemplos

$\int - 2 (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

Paso 1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

Paso 2

Sea $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ . Entonces $d u = (50 x + 10) d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = (5 x + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $25 x^{2} + 10 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 25]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $25 x^{2} + 10 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $50 x + 10$ y $0$ .

$50 x + 10$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Paso 3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{10}$ .

$- 2 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{10} \int e^{u} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $10$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{10} \int e^{u} d u$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{5} \int e^{u} d u$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$- \frac{1}{5} e^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 x^{2} + 10 x + 25$ .

$- \frac{1}{5} e^{25 x^{2} + 10 x + 25} + C$