Cálculo Ejemplos

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{7}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{7}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.4

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.6

Combina $a$ y $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.7

Mueve $49$ a la izquierda de $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.8

Multiplica $7 (- \frac{7}{2})$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Paso 3.2.1.8.2

Combina $- 7$ y $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Paso 3.2.1.8.3

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Paso 3.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Paso 3.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Paso 3.2.5.2

Resta $6$ de $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Paso 3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Paso 3.2.7

La respuesta final es $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Paso 5