Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{6} [5 y - (y^{2} - 6)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{6} 5 y - (y^{2} - 6) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{6} 5 y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{- 1}^{6} y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 6

Multiplica $- (y^{2} - 6)$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} - - 6 d y$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} + 6 d y$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - \int_{- 1}^{6} y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $6$ y en $- 1$ .

$5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $6$ y en $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Paso 13.3

Evalúa $6 y$ en $6$ y en $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$5 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$5 (18 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$5 (18 - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.4

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.5

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.7.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$5 \frac{36 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.7.2

Resta $1$ de $36$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.8

Combina $5$ y $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.9

Multiplica $5$ por $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.10

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.11

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 13.4.11.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{175}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.11.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{- 1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{175}{2} - (72 - - \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + 1 (\frac{1}{3})) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.15

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.16

Para escribir $72$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.17

Combina $72$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{175}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.19

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.19.1

Multiplica $72$ por $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{216 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.19.2

Suma $216$ y $1$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.20

Para escribir $\frac{175}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.21

Para escribir $- \frac{217}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.22

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.4.22.1

Multiplica $\frac{175}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.22.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.22.3

Multiplica $\frac{217}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.22.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.24

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.24.1

Multiplica $175$ por $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.24.2

Multiplica $- 217$ por $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.24.3

Resta $434$ de $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.25

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{91}{6} + 36 - 6 \cdot - 1$

Paso 13.4.26

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{91}{6} + 36 + 6$

Paso 13.4.27

Suma $36$ y $6$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Paso 13.4.28

Para escribir $42$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Paso 13.4.29

Combina $42$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Paso 13.4.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Paso 13.4.31

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.31.1

Multiplica $42$ por $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Paso 13.4.31.2

Suma $91$ y $252$ .

$\frac{343}{6}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{343}{6}$

Forma decimal:

$57.1\overline{6}$

Forma de número mixto:

$57 \frac{1}{6}$

Paso 15